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编者荐语
数学上,空间是指一种具有特殊性质及一些额外结构的集合(通常情况下也包含一些可用于这些集合元素上的“操作”),不存在单称为“空间”的数学对象。在数学中有许多空间表示,比如向量空间、内积空间、欧式空间以及希尔伯特空间等。在许多空间中处理原有问题具有相当的优越性,比在原有空间中处理更具灵活性。
线性(向量)空间、内积空间等一些常见空间的关系
1、距离的定义
具体的距离:实际上距离除了我们经常用到的直线距离外,还有向量距离, 函数距离、 曲面距离、折线距离等等。距离就是一个抽象的概念,其定义为:设X是任一非空集,对X中任意两点x,y,有一实数d(x,y)与之对应且满足:
1． d(x,y) ≥0,且d(x,y)=0当且仅当x=y;
2． d(x,y)=d(y,x);
3． d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)。
称d(x,y)为X中的一个距离。
2．线性空间&向量空间
线性空间和向量空间一回事。线性空间中的元素可以是任何东西;在选定基以后可以表示成向量的形式,所以线性空间也叫向量空间。矩阵空间就是元素是矩阵的线性空间。
线性空间被定义在某个数域上,是满足一定条件的非空集合;向量空间是满足一定条件的向量集合。只有在同构的前提下,向量空间的性质和定理才能应用到线性空间中。至于矩阵空间,即是非空集合为所有n*m的矩阵的线性空间。向量空间跟线性空间只有在同构时联系在一起,矩阵空间是线性空间的一种情况。
应该明确的区分向量空间和线性空间,向量空间是狭义的,他的元素是向量。线性空间是广义的,他的元素可以任何东西,可以是向量,矩阵,多项式,函数．．．
3、范数
在向量空间中,我们定义了范数的概念,表示某点到空间零点的距离:
1． ||x|| ≥0;
2． ||ax||=|a|||x||;
3． ||x+y||≤||x||+||y||。
将范数与距离比较,可知,范数比距离多了一个数乘的运算,表明其是一个强化了的距离概念。接下来对范数和距离进行扩展,形成如下:
范数的集合⟶ 赋范空间 +线性结构⟶线性赋范空间
距离的集合⟶ 度量空间 +线性结构⟶线性度量空间
4、内积空间、欧氏空间
下面在已经构成的线性赋范空间上继续扩展,添加内积运算,使空间中有角的概念,形成如下:线性赋范空间+内积运算⟶ 内积空间;这时的内积空间已经有了距离、长度、角度等,有限维的内积空间也就是我们熟悉的欧氏空间。
5、希尔伯特空间
继续在内积空间上扩展,使得内积空间满足完备性(空间中的极限运算仍在该空间内),形成希尔伯特空间如下:
内积空间+完备性⟶ 希尔伯特空间
6、巴拿赫空间
此外,前面提到的赋范空间,使其满足完备性,扩展形成巴拿赫空间如下:赋范空间+完备性⟶ 巴拿赫空间 以上均是在距离的概念上进行添加约束形成的,递增关系如下:
1．距离⟶范数⟶内积
2．向量空间+范数⟶ 赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间+内积运算⟶内积空间+完备性⟶希尔伯特空间
3．内积空间+有限维⟶欧几里德空间
4．赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间
顺便提以下,对距离进行弱化,保留距离的极限和连续概念,就形成拓扑的概念。
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