专注于计算机视觉与机器学习知识分享
编者荐语
简单来说,齐次坐标通过增加一个额外的维度W后,可以用来方便的对几何体进行缩放,旋转,平移,透视投影的矩阵变换。
齐次坐标
就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。 许多图形应用涉及到几何变换,主要包括平移、旋转、缩放。以矩阵表达式来计算这些变换时,平移是矩阵相加,旋转和缩放则是矩阵相乘,综合起来可以表示为X=R*x+t (R 旋转缩放矩阵,t 为平移矩阵,x为原向量,X为变换后的向量)。
引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法,表示为X=P*x的形式(即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法)。
如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);
如果(x,y,z)是个向量,则变为(x,y,z,0)
齐次坐标允许平移、旋转、缩放及透视投影等可表示为矩阵与向量相乘的一般向量运算。依据链式法则,任何此类运算的序列均可相乘为单一个矩阵,从而实现简单且有效之处理。与此相反,若使用笛卡儿坐标,平移及透视投影不能表示成矩阵相乘,虽然其他的运算可以。
二维点(x,y)的齐次坐标表示为(hx,hy,h)。由此可以看出,一个向量的齐次表示是不唯一的,齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点; 给出点的齐次表达式[X Y H],就可求得其二维笛卡尔坐标,即:
这个过程称为归一化处理。
在几何意义上,相当于把发生在三维空间的变换限制在H=1的平面内。
“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一,它既能够用来明确区分向量和点,同时也更易用于进行仿射(线性)几何变换。”—— F．S． Hill, JR
欢迎推荐更多优秀文章
